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Abbiamo visto come molte funzioni note siano integrabili; tra queste, le funzioni continue godono di particolari proprietà che, oltre a semplificare il calcolo dell'area, collegano il calcolo integrale al calcolo differenziale precedentemente studiato. Ci sono due teoremi di importanza chiave che dimostreremo qui di seguito.

Teorema (della media integrale)

Sia (ovvero continua e definita in ed ha valori in R) t.c.

 


Dimostrazione

Definiamo i due seguenti termini:

Ovvero M è il massimo della funzione e m il minimo; si ricorda che la loro esistenza è confermata dal Teorema di Weierstrass. Sappiamo, per definizione di massimo e minimo, che:

Possiamo, per le proprietà degli integrali, integrare tutti i membri della relazione e svolgere i calcoli:
Assunto che , per il teorema dei valori intermedi deve esistere ξ t.c.

 


Il valore viene chiamata media integrale di in . Abbiamo il seguente corollario:

Corollario

In parole semplici, per calcolare l'area del sottografico di una funzione continua in un intervallo (ipotesi fondamentale del teorema) adesso abbiamo uno strumento in più: esisterà un punto intermedio, la media integrale, il cui valore assunto dalla funzione è l'altezza del rettangolo avente come base l'intervallo e area equivalente a quella del sottografico. Per una più chiara comprensione:

Come si può immaginare, spesso non è semplice o veloce ricavare il valore intermedio dell'intervallo. Diamo una definizione e una breve dimostrazione di funzione d'area, attraverso la quale dimostreremo quello che, spesso, è considerato il teorema più importante dell'analisi in una variabile.

Definizione (Funzione dell'area)

Sia integrabile. Definiamo la funzione dell'area:

 


Osservazione Poiche presenta la variabile x in uno degli estremi di integrazione, la funzione e la variabile di integrazione diventano per evitare confusioni di variabile.

Abbiamo definito quindi una funzione che descrive l'area del sottografico della funzione di partenza al variare di x; osserviamo anche che:

Cipria Keys Scarpe Sandali Donna 5867 Proposizione

è integrabile è lipschitziana.

 
Dimostrazione

Siano ; procediamo calcolando , preso

Modulando i termini e sfruttando le proprietà dell'integrale:
L'ultima relazione ci dimostra che, essendo la crescita della funzione limitata, essa è lipschitziana.

 


Teorema (fondamentale del calcolo integrale)

Sia Allora tutte le primitive di f sono nella forma:

 


La dimostrazione di questo teorema verrà data per parti, attraverso proposizioni e definizioni seguenti.

Proposizione

Sia e . Allora:

1. è derivabile in

2.

 


Dimostrazione

Sia ; applichiamo la definizione di derivata per calcolare :

Osservazione viene a coincidere con la media integrale in h di . Per tale, si è ripresa la notazione usata nella precedente dimostrazione di . Il passaggio da è possibile grazie all'ipotesi fondamentale di continuità; nell'ultimo passaggio, il termine del limite, per rigore, andrebbe scritto:

 


Diamo le seguenti definizioni, di fondamentale importanza nell'analisi matematica.

Definizione (Primitiva)

Sia ; è derivabile con . è detta primitiva di

 


Definizione (Integrale indefinito)

Sia Si definisce

si chiama integrale indefinito di f(x).

 


Osservazione La differenza tra integrale definito e integrale indefinito è sostanziale, oltre che per definizione: l'integrale definito è un numero reale, un'area con segno, mentre l'integrale indefinito rappresenta un insieme infinito di funzioni la cui derivata è la funzione integranda. Dimostrata la seguente proposizione, si può considerare dimostrato il teorema fondamentale e trarne le conseguenze.

Proposizione

Sia . Siano due primitive di Allora:

 


Dimostrazione

Sandali Cipria 5867 Keys Scarpe Donna Applico la derivata della somma:

Applicando il teorema di Lagrange, ne deriva che:

 


È ora dimostrato, per parti, il teorema fondamentale del calcolo. Sappiamo, infatti, che la funzione dell'area è una particolare primitiva della funzione; sappiamo che le primitive della funzione differiscono di una costante reale. Unendo le dimostrazioni, otteniamo che tutte le primitive della funzione si possono scrivere come enunciato dal teorema. Ne diamo una conseguenza.

Corollario (Formula di Leibniz-Newton)

(Non sempre è chiamata così; si può trovare in altri testi sotto il nome di 'Secondo teorema fondamentale del calcolo', come corollario o come semplice conseguenza senza attribuzione.)

Date si ha che:

 


Dimostrazione

Sfruttando il teorema fondamentale, calcoliamo

 


Osservazione Dopo aver dimostrato questo teorema, ne concludiamo che il calcolo di integrali definiti viene a coincidere con il calcolo di primitive, ricollegandosi al calcolo differenziale. È bene tener presente che la stragrande maggioranza delle funzioni di cui si richiede un integrale definito non ammette una primitiva dotata di scrittura compatta (o addirittura risulta essere impossibile ricavarne una primitiva), per cui si deve far ricorso ai metodi di quadratura numerica, che vedremo in seguito.

Osservazione Nel caso venga richiesto il calcolo di un integrale definito, risulta comodo, a seconda dei casi, porre , per evitare che il risultato venga in funzione di un parametro.

Osservazione Esiste un dibattito circa la precedenza dell'integrale definito rispetto all'indefinito nella teoria del calcolo. In molti testi, infatti, viene definito prima l'integrale indefinito e poi, a partire da quello, viene definito il calcolo integrale. Il dibattito nasce attorno alla questione che l'integrale indefinito esiste solo di funzioni continue, mentre l'integrale definito può essere calcolato anche di funzioni non continue.

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